I PITAGORICI – I NUMERI

Pitagora, dettaglio della Scuola d'Atene, (1511) di Raffaello Sanzio

Pitagora, dettaglio della Scuola d’Atene, (1511) di Raffaello Sanzio

Verso la fine del VI secolo a.C.,una corrente di pensiero filosofico ci viene dalle teorie matematiche dei pitagorici. Partendo dalla scoperta delle leggi matematiche determinanti i fenomeni musicali, cioè dalla scoperta che l’armonia si fonda su semplici rapporti numerici di lunghezza delle corde (ottava, terza, quarta), i pitagorici pervennero a considerare il mondo come un’immensa struttura matematica. Se si vuole conoscere a fondo il mondo, si devono ricercare i numeri nelle cose.

Euclide e Pitagora, ovvero la Geometria e l'Aritmetica, formella del Campanile di Giotto, Luca della Robbia, 1437-1439, Firenze.

Euclide e Pitagora, ovvero la Geometria e l’Aritmetica, formella del Campanile di Giotto, Luca della Robbia, 1437-1439, Firenze.

Una tale concezione influenzò fortemente Platone e la sua Accademia. Nella nostra era, la grande rinascita della scienza, verificatasi nei secoli XVI e XVII, si rifece deliberatamente alla dottrina pitagorica per la quale il cosmo è intelligibile solo se viene considerato come una struttura retta da leggi matematiche.

Platone discorre con i suoi discepoli nell'Accademia

Platone discorre con i suoi discepoli nell’Accademia

Mappa dell'Antica Atene. L'Accademia è a nord della città.

Mappa dell’Antica Atene. L’Accademia è a nord della città.

  Non solo, ma anche la fisica matematica odierna segue in un certo senso lo stesso cammino dei pitagorici. La scuola pitagorica fu la prima a fare della ricerca scientifica disinteressata- “pura“, come diremmo oggi- un sistema di vita, sistema che dai suoi aderenti fu considerato superiore a qualsiasi altro. Noi dobbiamo ad essi il concetto di “teoria“, termine che in greco significa “osservazione”. Il viaggiare e l’osservare fu sempre tenuto in grande considerazione dai Greci (come del resto dimostrano anche gli antichi miti), ma con i pitagorici l’osservazione” diventa ricerca pura e disinteressata della conoscenza.

Attraverso l’indagine matematica i pitagorici si resero conto che le entità matematiche erano qualcosa di più perfetto che non le corrispondenti realtà del mondo sensibile. Un cerchio tracciato sulla sabbia non è perfettamente circolare, presentando gibbosità, rientranze e difformità di vario genere. Ma il cerchio matematico sul quale si dimostrano determinanti principi geometrici non è tanto il cerchio sensibile, tracciato materialmente, quanto un’immagine nella nostra mente. E’ da qui che nasce la “teoria delle forme o idee” (idea in greco significa immagine) elaborata da Socrate.

testa di Socrate, scultura di epoca romana, conservata al Museo del Louvre, Francia. Socrate fu il primo filosofo ad essere ritratto. Tutte le altre immagini dei filosofi presocratici sono frutto dell'immaginazione dei artisti che le hanno eseguite, senza un vero riscontro.

Testa di Socrate, scultura di epoca romana, conservata al Museo del Louvre, Francia. Socrate fu il primo filosofo ad essere ritratto. Tutte le altre immagini dei filosofi presocratici sono frutto dell’immaginazione degli artisti che le hanno eseguite, senza un vero riscontro.

I pitagorici consideravano i numeri come unità di misura aventi determinate dimensioni spaziali. Non solo, ma essi ritenevano tali unità indivisibili ed eterne, il che portava a conseguenze imbarazzanti. Se infatti applichiamo il famoso teorema di Pitagora al triangolo formato da due lati e dalla diagonale di un quadrato, troviamo che il rapporto tra i lati e l’ipotenusa non può essere espresso con nessuna unità di misura. Pitagora chiamò per questo tali numeri “incommensurabili”- termine che fu poi reso con “irrazionali”.

La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 punte che i Pitagorici chiamarono pentagramma e considerarono simbolo dell’armonia ed assunsero come loro segno di riconoscimento , ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no . A questa figura è stata attribuita per millenni à un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea , da cui è nata .

La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici i quali scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a 5 punte che i Pitagorici chiamarono pentagramma e considerarono simbolo dell’armonia ed assunsero come loro segno di riconoscimento , ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si e uno no . A questa figura è stata attribuita per millenni un’importanza misteriosa probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea , da cui è nata .

I primi pitagorici concepivano i numeri come gnomoni (parola greca il cui tema è legato al verbo gignosko- “conosco”.

I numeri venivano costruiti con punti (detti alfa) e riconosciuti dalle loro forme geometriche, e cioè: triangolare T, quadrata S e rettangolare. Pertanto, 9 è un numero "quadrato", 3 è un numero "triangolare" ecc.

I numeri venivano costruiti con punti (detti alfa) e riconosciuti dalle loro forme geometriche, e cioè: triangolare T, quadrata S e rettangolare. Pertanto, 9 è un numero “quadrato“, 3 è un numero “triangolare” ecc.

La tradizione matematica dei pitagorici venne portata avanti dall’Accademia di Platone, e il suo grande erede  fu Euclide di Alessandria, vissuto intorno al 300 a.C., il quale nel suo capolavoro, gli “Elementi”, raccolse in forma deduttiva, oltre ai suoi stessi contributi, anche tutte le scoperte che fino allora erano state fatte dai matematici greci.

Euclide di Alessandria

Euclide di Alessandria

Un famoso teorema di Euclide dimostra che esiste una serie indefinita di numeri primi, cioè numeri che non hanno fattori. Euclide adopera un tipo di argomentazione detto reductio ad absurdum (riduzione all’assurdo, o dimostrazione per assurdo), in cui una proposizione viene dimostrata provando come il suo contrario porti a una conclusione che è del tutto assurda.

Un frammento di papiro contenente alcuni elementi della geometria di Euclide

Un frammento di papiro contenente alcuni elementi della geometria di Euclide

Euclide, Elementi, edizione del 1570

Euclide, Elementi, edizione del 1570

                                                                                                                                           Lucica

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I PRESOCRATICI

I primi scienziati-filosofi furono di Mileto, il fiorente centro ionico sulla costa dell’Egeo.

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Il teatro di Mileto

Essi cercarono di dare una spiegazione generale del mondo, di come è fatto e del modo in cui si trasforma. Talete, il fondatore della scuola di Milete, è ricordato soprattutto per aver affermato che tutte le cose sono fatte di acqua (si può osservare come dalla superficie del mare il calore solare faccia evaporare l’acqua che poi ricade in forma di pioggia). Che questa concezione si sia in seguito rivelata erronea non è rilevante nel nostro caso. Anzi, si può quasi dire che costituisca un vantaggio, in quanto non avendo più queste teorie un interesse scientifico, è più facile studiare il meccanismo logico con cui sono state costruite.

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Talete di Mileto

Quello che a noi preme è infatti il metodo seguito per formulare il principio generale, il procedimento adottato per elaborare l’ipotesi, procedimento che è sempre rimasto lo stesso.

Eraclito di Efeso, vissuto intorno al 500 a.C., non era un filosofo particolarmente interessato alla ricerca scientifica, ma partendo dalla teoria della lotta dei contrari avanzata dal successore di Talete, Anassimandro, e dalla nozione di armonia elaborata da Pitagora, escogitò una nuova teoria per dimostrare che cosa fa andare avanti il mondo; la ragione cioè, per cui il mondo non soccombe di fronte alla lotta, ai contrasti e al caos.

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Eraclito, olio su tavola di Hendrick Brugghen, 1628, Rajksmuseum, Amsterdam

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Anassimandro

                                                                                                                                                                                                                    Pitagora

 La risposta a tutto questo è che i numerosi e continui cambiamenti che si verificano nel mondo accadono in base a determinati rapporti o proporzioni. Ciò che a prima vista ci sembra lotta e contrasto, nasconde invece una profonda armonia, un ordine. Mantenendosi entro tali rapporti, il mondo continua ad andare avanti. Esso è cioè un processo, per il quale, la lotta o il cambiamento sono essenziali. Questo voleva dire Eraclito quando affermò:” la lotta è la genitrice di tutto.” Tutto cambia continuamente, così come quando uno scende nello stesso fiume per la seconda volta, ma l’acqua è diversa, e il fiume non è più esattamente lo stesso. Per Eraclito la sostanza base è il fuoco; nel guizzar della fiamma e nei cambiamenti che accompagnano il processo della combustione egli vede impersonato il suo principio di eterno divenire.

Una concezione del tutto opposta fu affermata da Parmenide di Elea, città della Magna Grecia. Secondo lui, nulla si muove. Scrivendo intorno al 470 a.C., Parmenide afferma: “l’essere è, il non essere non è”. In altre parole, se tutte le cose sono fatte di una qualche sostanza base,  non può esistere una cosa che si chiami spazio vuoto, o non ente.

Parmenide di Elea

Parmenide di Elea

Il filosofo di Elea conclude perciò che il mondo è un solido uniforme- egli lo chiama l’Uno- e di forma sferica, dato che esso deve essere in un qualsiasi luogo come in un’altro, uguale. Questa è la conclusione logica della teoria della sostanza base. Una teoria, che cerca di spiegare tutto in termini di una sola sostanza, viene detta monista.

La critica di Parmenide suggerisce per la prima volta che abbiamo bisogno di una qualche nozione di spazio vuoto in cui possa avvenire il moto. Diversi furono i tentativi fatti per controbattere la critica eleatica. In Sicilia, Empedocle (490 circa-430 a.C.) affermò che l’acqua, l’aria il fuoco e la terra erano tutte sostanze base. Queste quattro radici delle cose si combinano e si separano in base ai principi dell’amore e dell’odio. Ma anche una semplice moltiplicazione di sostanze non aiuta in realtà a risolvere il problema. Anassagora, uno ionico stabilitosi ad Atene (500 circa-428 a.C.), si avvicinò di più al nocciolo del problema, parlando di una divisibilità all’infinito, che però è solo una proprietà della spazio.

Anaxagoras

Anaxagoras

L’ultimo passo lo fecero gli atomisti, i quali, adottata la sostanza base di Parmenide, spezzarono il suo solido mondo sferico in tante piccole particelle, o atomi di varie forme e tali da non poter essere ulteriormente divisi. Atomo significa infatti qualcosa che non può essere cambiato. Prendendo poi a prestito da Eraclito la teoria del perpetuo divenire, gli atomisti spiegarono il cambiamento come dovuto al moto, nello spazio, di atomi immutabili. In essenza, il mondo cambia col mutare della disposizione dei atomi.

Il primo ad avanzare la teoria atomista fu Leucippo di Mileto, vissuto, sembra, verso la metà del V secolo. Ma il vero rappresentante dell’atomismo fu Democrito. Tale dottrina doveva diventare, circa un secolo più tardi, il fulcro della filosofia di Epicuro e trovare nel I secolo a.C., la più completa elaborazione col filosofo romano Lucrezio.

Leucippe

Leucippe

Democrito, olio su tela, Peter Paul Rubens, Museo del Prado, Madrid, Spagna

Democrito, olio su tela, Peter Paul Rubens, Museo del Prado, Madrid, Spagna

Tito Lucrezio Caro

Tito Lucrezio Caro

LA FILOSOFIA GRECA

I Greci affrontarono il problema della conoscenza del mondo in modo diverso da tutti gli altri popoli dell’antichità: essi riconobbero che il ragionamento, per essere davvero tale, deve procedere sulla base di principi generali, ed è per questo che vengono unanimemente considerati i fondatori della filosofia. Diversamente dalla speculazione egizia e mesopotamica, la filosofia greca si accompagnò infatti ai primi passi della scienza.

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In una miniatura araba, Dioscoride mentre insegna ad un allievo. Epigono della scuola alessandrina, nel primo secolo d.C. la sua opera” De materia medica” (Sulla materia medica) fu tra le ultime di carattere veramente scientifico della civiltà greco-romana.

E’ vero che alcune nozioni sulle stelle, sulle piante, sui metalli, et cetera i Greci le avevano ereditate dalle precedenti culture orientali, ma si trattava di nozioni essenzialmente empiriche e frammentarie, capaci di mettere l’uomo in grado di affrontare situazioni particolari senza però offrirgli una visione generale del mondo. I costruttori egizi sapevano, ad esempio, che facendo nodi in una corda in modo da dividerla in 12 lunghezze uguali e formando poi con la medesima un triangolo rispettivamente di 3, 4 e 5 lunghezze, si aveva un triangolo rettangolo. Ma doveva essere un greco, Pitagora, a dimostrare il teorema sui triangoli rettangoli.

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Il filosofo greco Pitagora

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Il teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli

Il concetto di prova, di dimostrazione universalmente valida, è un’invenzione peculiarmente greca, ed è ciò che segna l’inizio della scienza e della filosofia in contrapposizione ai brancolamenti delle civiltà precedenti.

Non solo, ma i pensatori greci furono gli unici che intrapresero ricerche senza proporsi come fine primo l’utilità pratica, giacché cercavano di comprendere il mondo per il puro amore della conoscenza. La nostra tradizione filosofica risale direttamente al pensiero greco, pensiero che è tuttora importantissimo per noi, tanto che ad esso bisogna rifarsi per comprendere come sono sorti i grandi problemi della filosofia e della scienza.

                                                                                                                                                                                         Lucica